Añadir el chat de messenger de Facebook a tu propia web

Debes tener previamente creada una página en Facebook, entras con tu cuenta:
https://www.facebook.com/mipaginaweb/

Y le das a configuración y en el menú de la izquierda a "Mensajes":
https://www.facebook.com/eldespotricadorcinefilo/settings/?tab=messaging&ref=page_edit

Elegir "Añade Messenger a tu sitio web" y seguir todos los pasos.

Al final te genera un código que el que tienes que poner en tu web:
<!-- Load Facebook SDK for JavaScript -->
      <div id="fb-root"></div>
      <script>
        window.fbAsyncInit = function() {
          FB.init({
            xfbml            : true,
            version          : 'v7.0'
          });
        };

        (function(d, s, id) {
        var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0];
        if (d.getElementById(id)) return;
        js = d.createElement(s); js.id = id;
        js.src = 'https://connect.facebook.net/es_ES/sdk/xfbml.customerchat.js';
        fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);
      }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script>

      <!-- Your customer chat code -->
      <div class="fb-customerchat"
        attribution=setup_tool
        page_id="166xxxx97466"
  logged_in_greeting="Hola, ¿en qué puedo ayudarte?"
  logged_out_greeting="Hola, ¿en qué puedo ayudarte?">
      </div>
 
De esta manera cualquier persona con cuenta en Facebook podrá escribir mensajes en ese chat y te llegarán a tu bandeja de entrada de tu web en Facebook.